Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 313
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA=7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:2$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=15$ и $BC=25$. Боковые ребра пирамиды равны $5\sqrt{17}$. На ребрах $AD$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $N$ так, что $AK=CN=8$. Через точки $K$ и $N$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SB$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=4$ и диагональю $BD=7$. Все боковые рёбра пирамиды равны $4$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=3$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 2 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:3$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=5$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2:3$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=5$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=3:2$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=1$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=6$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=6$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=1$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=8$, $BC=4$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=8$, $BC=4$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение: