Поиск задач

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=f(x)=\frac12(x^2+6x)+3\ln(1-x)$. При исследовании обратите внимание на область определения функции и $\displaystyle \lim_{x\to1-0}f(x)$.

Найти нули производной функции $$\displaystyle f(x)=\frac{4^x-24\cdot2^x}{\ln4}+32x$$ и исследовать функцию на монотонность.

Найти нули производной функции $$\displaystyle f(x)=\frac{9^x-24\cdot3^x}{\ln9}+27x$$ и исследовать функцию на монотонность.

а) Найти общее решение уравнения $\displaystyle 2y\,dy=3x^2\cos^2y^2\,dx$.
б) Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию $\displaystyle y(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Решить уравнение: $(x^2+1)\,y'+2x\,y=\cos x$

Решить уравнение: $\displaystyle 2(x+1)\,y'+y=-2\sin x\cdot\sqrt{x+1}$

Найти длину дуги кривой $\displaystyle y=\frac23(x-1)^{3/2}$ ($4\leqslant x\leqslant 9$).

Аркадий Романович является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^3$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^3$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Аркадий Романович платит рабочему 500 рублей. Аркадию Романовичу нужно каждую неделю производить 180 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?