Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 16
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+5}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{-2}$ и $\displaystyle\frac{x-9}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z-2}{-1}$.
Ответ:
Решение:
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+5}{-8}=y-3=\frac{z-4}{3}$ и $\displaystyle\frac{x-2}{-2}=y-5=\frac{z-3}{0}$.
Ответ:
Решение:
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-2}{-1}$ и $\displaystyle\frac{x-5}{2}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-5}{0}$.
Ответ:
Решение:
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+3}{-4}=\frac{y-1}{-1}=z-4$ и $\displaystyle\frac{x+2}{-4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-10}{-1}$.
Ответ:
Решение:
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-5}{4}$ и $\displaystyle\frac{x-3}{-4}=y-7=\frac{z-9}{6}$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза $AB$ которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро пирамиды $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $AC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AC=BC=a$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $CA_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой $AB_{1}$. Найдите:
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание пирамиды $SABCD$ — равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2BC$, $M$ — середина бокового ребра $SA$, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадрат. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём $CM:MB=1:2$. Известно, что диагональ $DB_{1}$ параллелепипеда перпендикулярна отрезку $C_{1}M$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ с основаниями $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Прямые $BA_{1}$ и $CB_{1}$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a=\sqrt{30}$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=15$ и $BC=25$. Боковые ребра пирамиды равны $5\sqrt{17}$. На ребрах $AD$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $N$ так, что $AK=CN=8$. Через точки $K$ и $N$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SB$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная пирамида $ABCD$ с вершиной $D$.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
Ответ:
Решение: