Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 12
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, расположенным внутри прямоугольной трапеции $ABCD$, проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$.
а) Докажите, что угол $BOC$ вдвое больше угла $BTC$.
б) Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
а) Докажите, что угол $BOC$ вдвое больше угла $BTC$.
б) Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:
Решение:
Две окружности радиусов $R$ и $r$ пересекаются в точках $A$ и $B$ и касаются прямой в точках $C$ и $D$; $N$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ ($B$ между $A$ и $N$). Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $AN$ пересекает окружность в точке $K$, а луч $MK$ пересекает основание $AD$ в точке $L$.
а) Докажите, что треугольник $AKL$ подобен треугольнику $MAL$.
б) Найдите отношение $AL:LD$.
а) Докажите, что треугольник $AKL$ подобен треугольнику $MAL$.
б) Найдите отношение $AL:LD$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. В треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ проведены высоты.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $KLMN$, касается боковых сторон $KL$ и $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $KQ$ пересекает окружность в точке $A$, а луч $PA$ пересекает основание $KN$ в точке $B$.
а) Докажите, что треугольник $AKB$ подобен треугольнику $KPB$.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если $PQ:KB=8:3$.
а) Докажите, что треугольник $AKB$ подобен треугольнику $KPB$.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если $PQ:KB=8:3$.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямой $BC$, а через вершины $B$ и $C$ — другая окружность, касающаяся прямой $AB$. Продолжение общей хорды $BD$ этих окружностей пересекает отрезок $AC$ в точке $E$, а продолжение хорды $AD$ одной окружности пересекает другую окружность в точке $F$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.
Ответ:
Решение:
На основании $BC$ трапеции $ABCD$ взята точка $E$, лежащая на одной окружности с точками $A$, $C$ и $D$. Другая окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, касается прямой $CD$.
а) Докажите, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $ABE$
б) Найдите $BC$, если $AB=12$, $BE:EC=4:5$.
а) Докажите, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $ABE$
б) Найдите $BC$, если $AB=12$, $BE:EC=4:5$.
Ответ:
Решение:
Прямые, проходящие через точку $O$, расположенную вне окружности, касаются окружности в точках $P$ и $Q$; $A$, $B$ и $C$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $M$, лежащей на окружности, на прямые $OP$, $OQ$ и $PQ$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle CBM=\angle APM$.
б) Найдите $AM$, если $MC=4$ и $MB=8$.
а) Докажите, что $\angle CBM=\angle APM$.
б) Найдите $AM$, если $MC=4$ и $MB=8$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 10 вписана в угол величины $60^{\circ}$. Из точки $A$ её касания с одной из сторон угла опущен перпендикуляр $AH$ на другую его сторону, который второй раз пересекает окружность в точке $M$. Найти длину отрезка $MH$ этого перпендикуляра, лежащего вне окружности.
Ответ:
Решение: