Поиск задач

Участник викторины последовательно отвечает на три вопроса, при этом он выбывает из игры, если при ответе на очередной вопрос дал неправильный ответ, но набранные к тому времени очки сохраняются. Вероятность дать правильный ответ на первый вопрос равна $0{,}9$, на второй — $0{,}7$, на третий — $0{,}3$. За правильный ответ на первый вопрос участник викторины получает 50 очков, за правильный ответ на второй вопрос — 100, за третий — 150 очков. Случайная величина $X$ — общее количество очков, набранное участником викторины (0, 50, 150 или 300 очков). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины.

На билете мгновенной лотереи десять скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные семь окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?

В классе 12 мальчиков и 13 девочек. Из них случайным образом выбирают пятерых для представительства в школьном ученическом совете. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество девочек, выбранных в ученический совет от этого класса.

На кафедре математики работают 10 преподавателей без учёной степени, 10 кандидатов наук и 5 докторов наук. Из них случайным образом выбирают пятерых для отправки на конференцию. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество докторов наук, отправившихся на конференцию.

Ваня решил коллекционировать крокодилов из «киндер-сюпризов», и пока в его коллекции нет ни одного крокодила. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,2$ может находиться крокодил. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.

Маша решила коллекционировать бегемотов из «киндер-сюпризов», и пока в её коллекции нет ни одного бегемота. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,1$ может находиться бегемот. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.

В магазине представлено неограниченное количество шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0{,}1$ может находиться один из десяти бегемотов. Маша хочет собрать всю коллекцию бегемотов. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для завершения коллекции.

Автомат делает не более трёх попыток отправить сообщение, вероятность успешной передачи сообщения при каждой очередной попытке равна $0{,}9$. Случайная величина $X$ — количество попыток, предпринятых автоматом. Составить ряд распределения случайной величины $X$ и вычислить её математическое ожидание.
Указание. Автомат сделает одну, две либо три попытки. В случае, если было сделано три попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.

Автомат делает не более четырёх попыток отправить сообщение, вероятность успешной передачи сообщения при каждой очередной попытке равна $0{,}8$. Случайная величина $X$ — количество попыток, предпринятых автоматом. Составить ряд распределения случайной величины $X$ и вычислить её математическое ожидание.
Указание. Автомат сделает одну, две, три либо четыре попытки. В случае, если было сделано четыре попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.

Помещение освещается тремя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит, равна $0{,}7$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.

Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0{,}8$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество попаданий в мишень.

В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Из них случайным образом выбирают пятерых для представительства в школьном ученическом совете. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество девочек, выбранных в ученический совет от этого класса.
Указание. Вероятность, например, того, что в ученический совет будут выбраны ровно 2 девочки (и, соответственно, 3 мальчика) равна $\displaystyle\frac{C_{15}^2\cdot C_{10}^3}{C_{25}^5}=\frac{60}{253}$.

На кафедре математики работают 7 преподавателей без учёной степени, 8 кандидатов наук и 5 докторов наук. Из них случайным образом выбирают пятерых для отправки на конференцию. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество кандидатов наук, отправившихся на конференцию.
Указание. Вероятность, например, того, что на конференцию отправится ровно 3 кандидата наук (и, соответственно, двое будут выбраны среди докторов наук и неостепенённых) равна $\displaystyle \frac{C_8^3\cdot C_{12}^2}{C_{20}^5}=\frac{77}{323}$.

На билете мгновенной лотереи 9 (девять) скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные шесть окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?
Указание. Возможно, будет полезно переформулировать задачу. В мешке лежат шесть белых и три чёрных шарика. Из этих девяти шариков случайным образом выбирают три. Вопрос «какова вероятность, что из выбранных трёх шариков ровно два чёрных?» и вопрос «какова вероятность, что участник лотереи выиграет ровно 200 рублей» идентичны в такой модели.

На билете мгновенной лотереи 10 (десять) скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные семь окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?
Указание. Возможно, будет полезно переформулировать задачу. В мешке лежат семь белых и три чёрных шарика. Из этих десяти шариков случайным образом выбирают три. Вопрос «какова вероятность, что из выбранных трёх шариков ровно два чёрных?» и вопрос «какова вероятность, что участник лотереи выиграет ровно 200 рублей» идентичны в такой модели.

Три различных шарика размещают по трём ящикам. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество ящиков, оставшихся пустыми (0, 1 или 2).
Указание. Например, $\displaystyle P(\{X=0\})=\frac{3!}{3^3}=\frac{2}{9}$ (ни одного пустого ящика не останется, если в каждом ящике лежит по одному шарику).

Четыре различных шарика размещают по четырём ящикам. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество ящиков, оставшихся пустыми (0, 1, 2 или 3).
Указание. Например, $\displaystyle P(\{X=3\})=\frac{4}{4^4}=\frac{1}{64}$ (останется три пустых ящика, если все шарики лежат в одном из четырёх ящиков).

В вазе стоят $6$ красных роз и $4$ белых. Садовник случайным образом выбирает $3$ цветка для букета. Случайная величина $X$ — это количество красных роз в букете. Составьте ряд распределения, найдите дисперсию и стандартное отклонение $X$.

Тестировщик проверяет программный код на ошибки. Вероятность того, что в выбранном фрагменте кода будет найдена ошибка, равна $0{,}2$. Проверка фрагментов кода идет один за другим до тех пор, пока не будет найден фрагмент с ошибкой. Случайная величина $X$ равна количеству «безошибочных» фрагментов, проверенных до обнаружения первого бага. Найдите дисперсию и стандартное отклонение такой случайной величины.

В лотерейном мешке находятся $12$ бочонков: $8$ с четными числами и $4$ с нечетными. Ведущий вытаскивает наугад $3$ бочонка. Случайная величина $X$ — количество бочонков с нечетными числами в выборке. Составьте ряд распределения случайной величины, найдите дисперсию и стандартное отклонение.