Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 70
На стороне $AB$ угла $BAC=30^{\circ}$ взяты точки $M$ и $N$ на расстоянии $2$ и $6$ от вершины $A$. Найти радиус окружности, проходящей через точки $M$, $N$ и касающейся стороны $AC$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=24$ и $BD=10$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{5\sqrt2}{2}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$, касается этой окружности и пересекает прямую $CD$ в точке $M$. Найдите $CM$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M(-1;3)$ проведены касательные к окружности $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точек касания.
Ответ:
Решение:
Из точки $P(1;3)$ проведена касательная к окружности $(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точки касания.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{24}{\sqrt{61}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{53}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{13}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=6$ и $BD=12$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{6}{\sqrt{17}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны прямоугольной трапеции $ABCD$ и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$. Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:
Решение:
К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность, то есть внутри трапеции существует точка $O$ (центр окружности), равноудалённая от прямых, содержащих стороны трапеции. Доказать, что $AB+CD=BC+AD$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $D$ и $N$ соответственно. Найти $MD$, если известно, что $NA=2$, $NC=3$, $\angle BCA=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=4$, $CM=12$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 36 и 16. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 8 и 12. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 16 и 9. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 12 и 9. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 18 и 16. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 60 и 15. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 14 и 8. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение: