Поиск задач

Доказать неравенство: $2^{2x-x^2} \leqslant \sqrt{x^2-2x+5}$.

а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.

Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+3\geqslant\sqrt{-2x^2-4x+7}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство: $$2\cos\left(\pi\,x\right)\leqslant\log_2(x^2-4x+8).$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 4, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?