Поиск задач

Применив формулу интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.
Замечание. Этот интеграл берётся также заменой $x=\sin t$, но, пожалуйста, выполните задание: воспользуйтесь интегрированием по частям.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\ln x$ и прямой $y=\displaystyle\frac{2(x-1)}{e^2-1}$. Сделайте чертеж.
Указание. $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной графиком функции $y=e^x$ и прямыми $x=0$ и $y=e^2$.
Указание. $\int\ln^2 x\,dx=x(\ln^2 x-2\ln x+2)+C$.

Преобразовав подынтегральную функцию и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} x\sin^22x\,dx$.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\log_2 x$, $y=2^x$ и прямыми $x+y=1$ и $y=2$. Сделать чертёж.

Найти общее решение уравнения $y'\cos^2 x+y=\text{tg}\,x$.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\log_2 x$ и прямыми $y=3-x$ и $y=2x-6$. Сделайте чертёж.

Криволинейная трапеция, ограниченная линией $y=xe^x$ и прямыми $x=1$, $y=0$, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое при этом получается.

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=\ln x$, прямой $x=e$ и осью абсцисс.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < \frac{\pi}{2}; \\ & -a\cos x, \quad\text{если}~\frac{\pi}{2}\leqslant x < \frac{3\pi}{2}; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant\frac{3\pi}{2}. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $a>0$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{\pi/4 \leqslant X \leqslant \pi\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{x\sin3x\,dx}{\cos^33x}$.