Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 30
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. При этом отношение площади треугольника $AKM$ к площади трапеции $BKMC$ равно $S_{AKM}:S_{BKMC}=4:5$. Найти отношение $AK:KB$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. При этом отношение площади треугольника $AKM$ к площади трапеции $BKMC$ равно $S_{AKM}:S_{BKMC}=9:7$. Найти отношение $AK:KB$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. При этом отношение площади треугольника $AKM$ к площади трапеции $BKMC$ равно $S_{AKM}:S_{BKMC}=9:16$. Найти отношение $AK:KB$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. При этом отношение площади треугольника $AKM$ к площади трапеции $BKMC$ равно $S_{AKM}:S_{BKMC}=25:24$. Найти отношение $AK:KB$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $K$ и $N$ ($AK < AN$), и через них параллельно $BC$ проведены прямые, пересекающие сторону $AC$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Известно, что $S_{AKL} : S_{KLMN} : S_{BNMC} = 1 : 8 : 27$. Найти $AK : KN : NB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=2:1$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=1:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=2\,BC$) равна $54$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=3:1$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=3\,BC$) равна $170$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=3:2$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD:BC=3:2$) равна $65$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=1:2$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причем площади треугольника $AMK$ и трапеции $BMKC$ относятся как $1:4$. Найти отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причем площади треугольника $AMK$ и трапеции $BMKC$ относятся как $4:1$. Найти отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB=12$, высота $CH=8$. В треугольник вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на стороне $AB$, а две вершины — на сторонах $AC$ и $BC$. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 22.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB=12$, высота $CH=8$. В треугольник вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на стороне $AB$, а две вершины — на сторонах $AC$ и $BC$. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 20.
Ответ:
Решение:
Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. Точка $M$ — середина ребра $AD$, точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $DK:CK=1:4$. Найти а) периметр и б) площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ и $K$ параллельно ребру $BC$.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. Точка $M$ — середина ребра $AD$, точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $DK:CK=2:3$. Найти а) периметр и б) площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ и $K$ параллельно ребру $BC$.
Ответ:
Решение:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, сторона которого равна 6. На ребре $A_1D_1$ взята точка $M$ так, что $A_1M:D_1M=2:1$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(ACM)$.
Ответ:
Решение: