Поиск задач

Мощность $P$, отдаваемая электрическим элементом, определяется формулой $P=E^2R/(r+R)^2$, где $E$ — постоянная электродвижущая сила элемента, $r$ — постоянное внутреннее сопротивление, $R$ — внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление $R$, чтобы мощность $P$ была наибольшей?

Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geqslant 3$.

Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{2ab^2+4a^2b+b+2a}{2ab} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).

Найти наибольшее и наименьшее значение и множество значений функции $\displaystyle y=\frac{2x}{x^2+1}$. Укажите $x$, при которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции.

Найти множество значений функции $\displaystyle y=\frac{x^2+x-1}{x+2}$. Укажите $x$, при которых достигаются локальные экстремумы функции.

Исследуйте количество корней уравнения $\displaystyle \frac{x+1-x^2}{x+1}=a$ в зависимости от параметра $a$. Найдите область определения и множество значений функции в левой части уравнения. Используйте проведённый анализ для построения графика функции $\displaystyle y=\frac{x+1-x^2}{x+1}$. Найдите и укажите на графике точки локального экстремума, уравнения горизонтальной и наклонной асимптот.

Решить неравенство: $\log_{x-1}(x^2-8x+16)+2\log_{4-x}(-x^2+5x-4) > 6$.