Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $D$ и $N$ соответственно. Найти $MD$, если известно, что $NA=2$, $NC=3$, $\angle BCA=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=4$, $CM=12$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение:
Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=12$, а один из острых углов равен $\alpha=75^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании $BC$, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как $8:5$. Найдите углы треугольника.
Ответ:
Решение:
Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен $2\alpha$. Высота пирамиды равна $h$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=60^{\circ}$, радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $\displaystyle R=20\sqrt3$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AOB$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$-середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно прямые, $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $5$ и $15$ соответственно, а $OK = 8$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $5$ и $15$ соответственно, а $OK = 8$.
Ответ:
Решение: