Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 350
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=4$, боковое ребро $SA=2\sqrt{6}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=6$, боковое ребро $SA=\sqrt{38}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=4$, боковое ребро $SA=\sqrt{38}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=5$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется больше чем 24.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=10$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется меньше чем 96.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 2 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=6$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $AB=12$, высота $SO=5$. На боковом ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=1:2$. Найти площадь треугольника $ABM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $AB=12$, высота $SO=11$. На боковом ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=1:2$. Найти площадь треугольника $ABM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $AB=6$, высота $SO=2$. На боковом ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=1:3$. Найти площадь треугольника $ABM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $AB=10$, высота $SO=11$. На боковом ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2:3$. Найти площадь треугольника $ABM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=3$, высота $SO=4$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2:1$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $(ABM)$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=9$, высота $SO=12$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=1:2$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $(ABM)$.
Ответ:
Решение: