Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $12$ соответственно, а $OK = 5$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $12$ соответственно, а $OK = 5$.
Ответ:
Решение:
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $\angle BAC + \angle AKC = 90^\circ$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{3}{5}$, а $BC = 48$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{3}{5}$, а $BC = 48$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $P$ и $Q$ — середины сторон соответственно $AB$ и $AC$. Прямые $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $K$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили высоту $CH$. Из точки $H$ на катеты опустили перпендикуляры $HK$ и $HE$.
а) Докажите, что точки $A$, $B$, $K$ и $E$ лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если $AB=24$, $CH=7$.
а) Докажите, что точки $A$, $B$, $K$ и $E$ лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если $AB=24$, $CH=7$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. В треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ проведены высоты.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.
Ответ:
Решение:
Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
Ответ:
Решение:
$AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$ с углом $45^{\circ}$ при вершине $C$.
а) Докажите, что треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ прямоугольный.
б) Найдите отношение, в котором высота $AA_{1}$ делит отрезок $B_{1}C_{1}$, если известно, $BC=2B_{1}C_{1}$.
а) Докажите, что треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ прямоугольный.
б) Найдите отношение, в котором высота $AA_{1}$ делит отрезок $B_{1}C_{1}$, если известно, $BC=2B_{1}C_{1}$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $P$ и $Q$ — середины сторон соответственно $AB$ и $AC$. Прямые $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$.
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $K$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$. Известно, $\angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если известно также, что $\cos\angle BAC=\frac{3}{5}$ и $BC=48$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если известно также, что $\cos\angle BAC=\frac{3}{5}$ и $BC=48$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот остроугольного треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $\angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}$.
б) Известно, что $A_{1}B_{1}=26$, $B_{1}C_{1}=28$, $A_{1}C_{1}=30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $\angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}$.
б) Известно, что $A_{1}B_{1}=26$, $B_{1}C_{1}=28$, $A_{1}C_{1}=30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проведённая через вершину $C$ треугольника $ABC$ параллельно его биссектрисе $BD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $MBC$, если $\angle ABC=110^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.
Ответ:
Решение:
$AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, причём $AM=MD$. Докажите, что $MD\parallel AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ вдвое больше стороны $AC$.
а) Докажите, что медиана $CM$ перпендикулярна биссектрисе $AK$.
б) Найдите сторону $BC$, если известно, что $AC=5$, $AK=4$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BE$, которую центр $O$ вписанной окружности делит в отношении $BO:OE=2$. Найдите сторону $AB$, если $AC=7$, $BC=8$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.
Ответ:
Решение: