На биссектрису $AL$ остроугольного треугольника $ABC$ опущен из вершины $B$ перпендикуляр $BH$, продолжение которого за точку $H$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ взята точка $S$. Доказать, что $\angle SBA=\angle LMC$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 14 и 8. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 36 и 16. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=12$, $\angle ABC=30^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 2 больше стороны $AB$, а периметр равен 28, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=20\sqrt2$, а один из острых углов равен $\alpha=67^{\circ}\,30'$.
Ответ:
Решение:
Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=10\sqrt3$, а один из острых углов равен $\alpha=30^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=10$, а один из острых углов равен $\alpha=15^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=\frac{32}{3}$ и $\displaystyle BH=6$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известны углы: $\angle BAC=52^{\circ}$, $\angle BCA=44^{\circ}$. Из вершины $B$ провели медиану и высоту и продолжили их за сторону $AC$ на расстояния, равные им. Получили точки $P$ и $K$. Найти угол $\angle PCK$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если у четырёхугольника все стороны и все углы равны, то его диагонали равны и перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=6$. На $BC$ взята точка $M$ так, что $CM=1$. Прямая, проходящая через $M$ перпендикулярно биссектрисе угла $ACB$, пересекает $AC$ в точке $N$, а прямая, проходящая через $N$ перпендикулярно биссектрисе угла $BAC$, пересекает прямую $AB$ в точке $K$. Найти $BK$ и $AK$.
Ответ:
Решение:
На окружности взяты точки $A$, $B$ и $C$ так, что $AB=BC$. Докажите, что биссектриса угла $ABC$ проходит через центр окружности.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $A$ и $C$. Известно, что $AB=3$, $CD=5$. Найти стороны $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
На основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $K$ так, что $BM=CK$. Докажите, что $AM=AK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, $\angle C=45^{\circ}$, $AB=4$; $AD$ — биссектриса. Найти $BD$.
Для справки: $\displaystyle\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
Для справки: $\displaystyle\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=5$, $CM=10$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=3$, $CM=2$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение: