В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $AB=4$ на серединах рёбер $AD$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти периметр и площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $(BC_1K)$.
Ответ:
Решение:
Через середину ребра $AB$ куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$, проведена плоскость, параллельная прямым $BD_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
Ответ:
Решение:
На ребрах $BB_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точка $K$ и $M$ соответственно, причём $BK:KB_1=2:1$ и $CM:MC_1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=8$, $BC=4$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=1$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На серединах рёбер $AB=6$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точки $K$ и $P$ соответственно. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $K$ и $P$ параллельно прямой $BD_1$. Найти площадь такого сечения.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны длины рёбер: $AB=AA_1=4$, $BC=\sqrt{6}$. На серединах рёбер $C_1D_1$ и $CC_1$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно.
а) Найти косинус угла между прямыми $BM$ и $CD_1$.
б) Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$ и найти его площадь.
а) Найти косинус угла между прямыми $BM$ и $CD_1$.
б) Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно так, что $BK:KB_1=1:3$ и $CM:MC1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$, если $AB=4$, $BC=3$ и $AA_1=12$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(AMC_1)$, если ребро куба равно $4$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны длины рёбер: $AB=AA_1=10\sqrt2$, $BC=12$. На середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сумма длин всех ребёр равна 180, при этом $AB:BC=3:5$ и $BC:AA_1=5:7$. Найти каждое ребро параллелепипеда и площадь его полной поверхности (площадь полной поверхности — это сумма площадей всех шести граней параллелепипеда).
Ответ:
Решение:
На середине ребра $B_1C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $ABM$. Найти площадь сечения, если $AB=6$, $BC=4\sqrt3$, $AA_1=\sqrt{13}$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $BD_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ отмечена точка $M$, причём $BM:MD_{1}=1:3$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямым $AB_{1}$ и $CB_{1}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
Ответ:
Решение:
Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадрат. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём $CM:MB=1:2$. Известно, что диагональ $DB_{1}$ параллелепипеда перпендикулярна отрезку $C_{1}M$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны основания равны $AB=3$ и $BC=4$, а тангенс угла, который диагональ $BD_1$ составляет с плоскостью основания, равен $1{,}4$. Найти боковое ребро $AA_1$ параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, сторона которого равна 6. На ребре $A_1D_1$ взята точка $M$ так, что $A_1M:D_1M=1:2$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(ACM)$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $C_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Найти косинус угла между прямыми $AC$ и $BM$.
Ответ:
Решение: