На середине $BC$ правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ со стороной основания $AB=6$ и высотой $SO=3\sqrt2$ взята точка $M$. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $O$ параллельно прямым $BC$ и $SM$. Найти площадь такого сечения.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=6$, боковое ребро $SA=\sqrt{26}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
На середине бокового ребра $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взята точка $M$. Найти тангенс угла между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если сторона основания $AB=6$ и боковое ребро $\displaystyle SA=2\sqrt7$.
Ответ:
Решение:
На середине бокового ребра $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взята точка $M$. Найти тангенс угла между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если сторона основания $AB=4$ и боковое ребро $\displaystyle SA=\frac{8}{\sqrt3}$.
Ответ:
Решение:
На боковом ребре $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ выбрана точка $M$ так, что $CM:MS=1:3$. Найти угол между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если $SC=8$ и $AB=4$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $MABCD$ с вершиной $M$ стороны основания равны $12$, а боковые ребра равны $16$.
а) Докажите, что прямые $MC$ и $BD$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку $B$ и середину ребра $MD$ параллельно прямой $AC$.
а) Докажите, что прямые $MC$ и $BD$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку $B$ и середину ребра $MD$ параллельно прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=AC=13$ и $BC=10$. Боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $SA=6$. Найти тангенс угла наклона боковой грани $SBC$ к плоскости основания.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $AB=10$, боковое ребро $SA=5\sqrt5$. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной треугольной пирамиды $SABC$ равна $AB=6\sqrt3$, боковое ребро $SA=6\sqrt2$. Найти тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB=2\sqrt3$, боковое ребро $AS=2\sqrt{10}$. На середине стороны основания $BC$ взята точка $M$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $(AMS)$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB=2\sqrt3$, боковое ребро $AS=\sqrt{29}$. На середине стороны основания $BC$ взята точка $M$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $(AMS)$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $SA$, $SB$ и $SC$ пирамиды $SABC$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно так, что $SM:MA=SN:NB=SK:KC=1:2$.
а) Докажите, что плоскости $(ABC)$ и $(MNK)$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если площадь основания $ABC$ пирамиды равна $45$.
а) Докажите, что плоскости $(ABC)$ и $(MNK)$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если площадь основания $ABC$ пирамиды равна $45$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=2$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
Основание четырёхугольной пирамиды $SABCD$ — параллелограмм $ABCD$. Через середину ребра $SC$ и точку $A$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$ основания. Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с прямой $CD$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=1:4$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:3$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
Основание пирамиды $SABCD$ — равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2BC$, $M$ — середина бокового ребра $SA$, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$. Боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$. Боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите высоту пирамиды.
Ответ:
Решение: