В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=2:3$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=15$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=3:1$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=28$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=1:3$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=12$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=9$, $BC=5$ и $AC=11$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=14$, $BC=12$ и $AC=8$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=12$, $BC=8$ и $AC=10$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=10$, $BC=14$ и $AC=20$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его площадь равна 12.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём $MN\parallel AB$ и $MN=AM$. Найдите угол $BAN$, если $\angle B=45^{\circ}$ и $\angle C=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC\parallel BD$ и $AD\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$. Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$, если $AB=4$, $AC=5$.
Ответ:
Решение:
Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO=OD$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $DCB$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проведённая через вершину $C$ треугольника $ABC$ параллельно его биссектрисе $BD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $MBC$, если $\angle ABC=110^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.
Ответ:
Решение:
$AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, причём $AM=MD$. Докажите, что $MD\parallel AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ вдвое больше стороны $AC$.
а) Докажите, что медиана $CM$ перпендикулярна биссектрисе $AK$.
б) Найдите сторону $BC$, если известно, что $AC=5$, $AK=4$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BE$, которую центр $O$ вписанной окружности делит в отношении $BO:OE=2$. Найдите сторону $AB$, если $AC=7$, $BC=8$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AC$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$. Найти косинус угла $HBM$, если $AB=2$ и $BC=5$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AC$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$. Найти косинус угла $HBM$, если $AB=1$ и $BC=3$.
Ответ:
Решение: