Площадь треугольника как $S=\frac12ab\sin\alpha$. Теоремы синусов, косинусов. Задачи на решение треугольников.
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{2\sqrt2}{3}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=60^{\circ}$, радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $\displaystyle R=20\sqrt3$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AOB$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=20$, $b=AC=15$ и $c=AB=7$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, где $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, где $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
Ответ:
Решение:
В треугольнике одна сторона на 3 см больше другой, а угол между ними равен $60^{\circ}$. Найти эти стороны и площадь треугольника, если большая сторона треугольника равна $\sqrt{79}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC=60^{\circ}$. Продолжение биссектрисы $AA_{1}$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $A_{2}$. Найдите площади треугольников $OA_{2}C$ и $A_{1}A_{2}C$ ($O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$).
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=120^{\circ}$, радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $\displaystyle R=\frac{10}{\sqrt3}$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AOB$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=17$, $b=AC=10$ и $c=AB=9$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
Ответ:
Решение:
В треугольнике одна сторона на 3 см больше другой, а угол между ними равен $120^{\circ}$. Найти эти стороны и площадь треугольника, если большая сторона треугольника равна $\sqrt{93}$.
Ответ:
Решение:
Две стороны треугольника равны 5 и 4, а высота, проведённая к третьей стороне, равна 3. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $AB=4\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{65}$ и $AC=15$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM:BM=3:1$ и $AK:CK=2:1$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
Сторона треугольника равна $5\sqrt3$, а прилежащие к ней углы $50^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 10 вписана в угол величины $60^{\circ}$. Из точки $A$ её касания с одной из сторон угла опущен перпендикуляр $AH$ на другую его сторону, который второй раз пересекает окружность в точке $M$. Найти длину отрезка $MH$ этого перпендикуляра, лежащего вне окружности.
Ответ:
Решение:
Для измерения ширины реки на противоположном её берегу примечают какой-то хорошо заметный природный объект $C$ (например, отдельно стоящее дерево) или строение (к примеру, здание пристани или лодочную станцию), а на доступном берегу реки выбирают точки $A$ и $B$ (расстояние $AB$ может быть найдено непосредственно) и измеряют углы, под которыми точка $C$ видна из точек $A$ и $B$. Далее остаётся вычислить высоту в треугольнике $ABC$, опущенную из вершины $C$ — это и будет ширина реки.
Вычислить с точностью до десятых ширину реки по данным таких измерений: $AB=100$ м, $\angle BAC=50^{\circ}$, $\angle ABC=20^{\circ}$.
Для справки. $\sin 50^{\circ}\approx0{,}766$, $\sin 20^{\circ}\approx0{,}342$, $\sin 110^{\circ}=\sin70^{\circ}\approx0{,}940$.
Вычислить с точностью до десятых ширину реки по данным таких измерений: $AB=100$ м, $\angle BAC=50^{\circ}$, $\angle ABC=20^{\circ}$.
Для справки. $\sin 50^{\circ}\approx0{,}766$, $\sin 20^{\circ}\approx0{,}342$, $\sin 110^{\circ}=\sin70^{\circ}\approx0{,}940$.
Ответ:
Решение:
Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB=2$ и $AD=4\sqrt3$. На середине стороны $AD$ взята точка $M$, на середине отрезка $BM$ взята точка $K$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника $CMK$.
Ответ:
Решение:
Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB=2\sqrt3$ и $AD=4$. На середине стороны $AD$ взята точка $M$, на середине отрезка $BM$ взята точка $K$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника $CMK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, $\angle C=45^{\circ}$, $AB=4$; $AD$ — биссектриса. Найти $BD$.
Для справки: $\displaystyle\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
Для справки: $\displaystyle\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=5$, $CM=10$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=3$, $CM=2$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $N$, $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BK=4$, $CM=12$, $\angle ABC=60^\circ$. Найти $MN$.
Ответ:
Решение: