Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 59
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{13}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=6$ и $BD=12$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{6}{\sqrt{17}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $BC=4$, $AB=2\sqrt{19}$. Центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла $C$. Найти $AC$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что $x^2+y^2 \geqslant 9$ для всех $x$ и $y$ таких, что $3x+4y=15$. Указать $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольного треугольника взяты две точки: одна удалена от его катетов и гипотенузы на расстояния 1, 8 и $2{,}6$ соответственно, а другая — на расстояния $2{,}5$, $6$ и $3{,}3$ (от тех же сторон, в том же порядке). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольного треугольника взяты две точки: одна удалена от его катетов и гипотенузы на расстояния 1, 9 и $1{,}8$ соответственно, а другая — на расстояния $2{,}5$, $6{,}5$ и $2{,}9$ (от тех же сторон, в том же порядке). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольного треугольника взяты две точки: одна удалена от его катетов и гипотенузы на расстояния 2, 10 и $0{,}4$ соответственно, а другая — на расстояния $3$, $7$ и $2{,}2$ (от тех же сторон, в том же порядке). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ:
Решение:
Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(14;~2)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное 10. Найти угол между этими прямыми.
Ответ:
Решение:
Найти значения $a$, при которых уравнение $$|x-a|=\sqrt{6x-1-x^2}$$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x+a|=\sqrt{4x+4-x^2}$ имеет два корня.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых система
$$\left\{
\begin{aligned}
&y-|x|=0, \\
&x^2+(y-a)^2=18
\end{aligned}\right.
$$
имеет четыре решения.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ — прямой, $AC:AB=4:5$. Окружность с центром на катете $AC$ касается гипотенузы $AB$ и пересекает катет $BC$ в точке $P$, причём $BP:PC=2:3$. Найдите отношение радиуса окружности к катету $BC$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых линии $$y=\frac{x^2-5x+6}{|x-2|}+\frac{x^2-5x+6}{|x-3|} \quad\text{и}\quad x^2-6x+y^2-8y-a^2+25=0$$ имеют ровно три общие точки.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$$\left\{\begin{aligned}
&x^2-2x+y^2-4y \leqslant a^2+6a+4, \\
&|y-x-1| \geqslant a^2
\end{aligned}\right.$$
не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
a) $\sqrt{16-x^2-6x}=ax-4a+5$,
б) $\sqrt{16-x^2-6x}=ax+4a+7$
имеет ровно два различных корня.
a) $\sqrt{16-x^2-6x}=ax-4a+5$,
б) $\sqrt{16-x^2-6x}=ax+4a+7$
имеет ровно два различных корня.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
a) $\sqrt{21-x^2+4x}=ax+6a+5$,
б) $\sqrt{21-x^2+4x}=ax-3a+7$
имеет ровно два различных корня.
a) $\sqrt{21-x^2+4x}=ax+6a+5$,
б) $\sqrt{21-x^2+4x}=ax-3a+7$
имеет ровно два различных корня.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\left\{\begin{aligned}
&(x-2a+4)^2+(y-a+1)^2=3a+5, \\
&|y+2x-1| \leqslant 5
\end{aligned}\right.$$
имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\left\{\begin{aligned}
&(x-a+2)^2+(y-2a+3)^2=3a+8, \\
&|2y+x+3| \leqslant 5
\end{aligned}\right.$$
имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых система уравнений
$$\left\{\begin{aligned}
&ay^2-a^2xy+xy+a^2y-y-ax^2+2ax-a=0, \\
&x^2-10x+y^2-6|y|+29=0
\end{aligned}\right.$$
имеет ровно четыре решения.
Ответ:
Решение: