Ваня решил коллекционировать крокодилов из «киндер-сюпризов», и пока в его коллекции нет ни одного крокодила. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,2$ может находиться крокодил. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.
Ответ:
Решение:
Маша решила коллекционировать бегемотов из «киндер-сюпризов», и пока в её коллекции нет ни одного бегемота. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,1$ может находиться бегемот. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.
Ответ:
Решение:
Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидит хотя бы одна девочка. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.
Ответ:
Решение:
Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидят две девочки. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.
Ответ:
Решение:
В магазине представлено неограниченное количество шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0{,}2$ может находиться один из пяти крокодилов. Ваня хочет собрать всю коллекцию крокодилов. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для завершения коллекции.
Ответ:
Решение:
Автомат делает не более трёх попыток отправить сообщение, вероятность успешной передачи сообщения при каждой очередной попытке равна $0{,}9$. Случайная величина $X$ — количество попыток, предпринятых автоматом. Составить ряд распределения случайной величины $X$ и вычислить её математическое ожидание.
Указание. Автомат сделает одну, две либо три попытки. В случае, если было сделано три попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.
Указание. Автомат сделает одну, две либо три попытки. В случае, если было сделано три попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.
Ответ:
Решение:
Помещение освещается тремя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит, равна $0{,}7$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.
Ответ:
Решение:
На билете мгновенной лотереи 9 (девять) скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные шесть окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?
Указание. Возможно, будет полезно переформулировать задачу. В мешке лежат шесть белых и три чёрных шарика. Из этих девяти шариков случайным образом выбирают три. Вопрос «какова вероятность, что из выбранных трёх шариков ровно два чёрных?» и вопрос «какова вероятность, что участник лотереи выиграет ровно 200 рублей» идентичны в такой модели.
Указание. Возможно, будет полезно переформулировать задачу. В мешке лежат шесть белых и три чёрных шарика. Из этих девяти шариков случайным образом выбирают три. Вопрос «какова вероятность, что из выбранных трёх шариков ровно два чёрных?» и вопрос «какова вероятность, что участник лотереи выиграет ровно 200 рублей» идентичны в такой модели.
Ответ:
Решение:
Десять мальчиков и десять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидит хотя бы одна девочка. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.
Ответ:
Решение:
Три различных шарика размещают по трём ящикам. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество ящиков, оставшихся пустыми (0, 1 или 2).
Указание. Например, $\displaystyle P(\{X=0\})=\frac{3!}{3^3}=\frac{2}{9}$ (ни одного пустого ящика не останется, если в каждом ящике лежит по одному шарику).
Указание. Например, $\displaystyle P(\{X=0\})=\frac{3!}{3^3}=\frac{2}{9}$ (ни одного пустого ящика не останется, если в каждом ящике лежит по одному шарику).
Ответ:
Решение:
Случайная величина задана рядом распределения: $$X \sim \begin{pmatrix}-3 & a & 1 & b & 7 \\ 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \end{pmatrix}.$$ Найти $a$ и $b$, если математическое ожидание равно $E[X]=1{,}1$, дисперсия равна $D[X]=8{,}89$
Ответ:
Решение:
На автозаправке в среднем за один час заправляются 4 автомобиля. Какова вероятность, что за трёхчасовую смену будет заправлено:
а) ровно 10 машин?
б) не более 2 машин?
а) ровно 10 машин?
б) не более 2 машин?
Ответ:
Решение:
Поток пассажиров к билетной кассе является пуассоновским с интенсивностью 4 человека за 5 минут.
а) Какова вероятность, что за 5 минут подойдут ровно 3 пассажира?
б) Какова вероятность, что время между приходами двух последовательных пассажиров превысит 2 минуты?
а) Какова вероятность, что за 5 минут подойдут ровно 3 пассажира?
б) Какова вероятность, что время между приходами двух последовательных пассажиров превысит 2 минуты?
Ответ:
Решение:
На АЗС в среднем за час заправляют 6 машин. Какова вероятность, что за 4-часовую смену будет обслужено:
а) ровно 20 машин?
б) не более 3 машин?
а) ровно 20 машин?
б) не более 3 машин?
Ответ:
Решение:
Онлайн-магазин получает в среднем 7 заказов в час. Время обработки каждого заказа подчиняется показательному распределению со средним 8 мин. Какова вероятность того, что:
а) Следующий заказ поступит не раньше, чем через 15 мин?
б) За 2 часа поступит не менее 15 заказов?
в) Обработка заказа займёт не более 5 минут?
а) Следующий заказ поступит не раньше, чем через 15 мин?
б) За 2 часа поступит не менее 15 заказов?
в) Обработка заказа займёт не более 5 минут?
Ответ:
Решение:
Поток пассажиров к билетной кассе является пуассоновским с интенсивностью 3 человека за 5 минут.
а) Какова вероятность, что за 5 минут подойдут ровно 2 пассажира?
б) Какова вероятность, что время между приходами двух последовательных пассажиров превысит 4 минуты?
а) Какова вероятность, что за 5 минут подойдут ровно 2 пассажира?
б) Какова вероятность, что время между приходами двух последовательных пассажиров превысит 4 минуты?
Ответ:
Решение:
Баскетболист выполняет штрафные броски до первого промаха. Вероятность попадания при каждом броске неизменна и равна $0,7$. Случайная величина $X$ равна количеству точных попаданий до того, как он промахнется. Найдите дисперсию и стандартное отклонение этой величины. Как вы думаете, сколько попыток стоит запланировать организаторам, чтобы точно дождаться промаха?
Ответ:
Решение:
В вазе стоят $6$ красных роз и $4$ белых. Садовник случайным образом выбирает $3$ цветка для букета. Случайная величина $X$ — это количество красных роз в букете. Составьте ряд распределения, найдите дисперсию и стандартное отклонение $X$.
Ответ:
Решение:
В магазине проходит акция: в каждой упаковке мармелада лежит одна из $10$ различных наклеек с супергероями. Вероятность выпадения каждой наклейки одинакова. Сколько в среднем упаковок мармелада нужно купить, чтобы собрать всю коллекцию из $10$ наклеек?
Ответ:
Решение:
В $15$-этажном офисном здании на первом этаже в лифт зашли $8$ сотрудников. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже со $2$-го по $15$-й. Найдите среднее количество остановок, которые сделает лифт.
Ответ:
Решение: