Методами математического анализа доказать неравенство: $$2\cos\left(\pi\,x\right)\leqslant\log_2(x^2-4x+8).$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+3\geqslant\sqrt{-2x^2-4x+7}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$x \cdot \ln x^2 \geqslant 2 - 2e^{1-x}$$
Ответ:
Решение:
Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3x^2-4x+8}{2x-2}$ на отрезке $[1{,}5;~3]$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2+4x-4}{(x-1)^2}$ на отрезке $[-2;~0]$.
Ответ:
Решение:
Точка $A$ лежит на параболе $y=x^2+1$, точка $B$ лежит на прямой $y=2x-5$. Найти наименьшую длину отрезка $AB$.
Ответ:
Решение:
Точка $A$ лежит на параболе $y=x^2-1$, точка $B$ лежит на прямой $y=4x-22$. Найти наименьшую длину отрезка $AB$.
Ответ:
Решение:
Число 24 представить в виде произведения двух положительных чисел $x$ и $\displaystyle y=\frac{24}{x}$, так чтобы сумма $S=2x+3y$ удвоенного первого и утроенного второго числа была наименьшей ($2x+3y \to \min$). Чему равна эта наименьшая сумма?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=2\cos 3x-3\cos2x-6\sin x+6\cos x+3x$ на отрезке $\displaystyle\left[\frac{\pi}{3},~\pi\right]$.
Ответ:
Решение: