В задачах этой группы геометрическая конструкция уже задана в координатном виде, и остается только воспользоваться одной-двумя известными формулами. Проверяются базовые навыки: вычисление расстояния между двумя точками; деление отрезка в данном отношении; вычисление угла между векторами; применение скалярного произведения для проверки ортогональности векторов.
Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AP \bot BC$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты вершины $C$ треугольника и координаты точки $O$ пересечения медиан треугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $A(2,~-5)$ и $B(7,~-4)$ — вершины параллелограмма $ABCD$. На его диагонали $BD$ взята точка $M(6,~-2)$ так, что $DM=3\cdot BM$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-2)$, $B(3,~-7)$, $C(4,~0)$ и $D(-1,~5)$ является параллелограммом. Является ли этот четырехугольник ромбом? Квадратом? Обоснуйте ответ.
Ответ:
Решение:
Доказать, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-2)$, $B(3,~-3)$ и $C(1,~6)$ является прямоугольным.
Ответ:
Решение:
Графически решить систему уравнений:
$$\displaystyle\left\{\begin{aligned}
&x^2+y^2-6x-2y=3 \\
&x^2+y^2-6x-6y=7.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-4,~-2)$ и $B(4,~-4)$. Точка $O(1,~0)$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти координаты двух других вершин параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~1)$, $B(-1,~5)$ и $C(7,~-1)$ — прямоугольный с прямым углом $B$.
Ответ:
Решение:
Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned}
&(x-3)^2+(y-2)^2=25, \\
&\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
Окружность с центром в точке $O(4,~1)$ проходит через точку $M(1,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
Ответ:
Решение:
Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-4,~-2)$ и $B(-2,~7)$ пересекаются в точке $O(1,~2)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-3)$, $B(4,~-1)$ и $C(2,~3)$ основание $AB$ в два раза больше основания $CD$. Найти координаты вершины $D$ трапеции.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(-1,~4)$ и $C(5,~0)$ найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$.
Ответ:
Решение: