а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x-2$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x-2=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot2^x-2=a$ имеет хотя бы один корень.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x-2=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot2^x-2=a$ имеет хотя бы один корень.
Ответ:
Решение:
1. Исследовать функции и построить их графики:
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
Ответ:
Решение:
Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$. Исследовать количество корней уравнения $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}=a$ в зависимости от значений параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x+1}{1-x}$. Указать множество значений функции $f(x)$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{2x^2-x+1}{1-x}=a$$ не имеет решений.
Ответ:
Решение: