Простейшие задачи на треугольниках. Признаки равенства. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Медиана, биссектриса, высота в треугольнике. Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник, свойства и признаки. Средняя линия треугольника.
Окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $T$ и продолжений его сторон $AB$ (за точку $B$) и $AC$ (за точку $C$) в точках $P$ и $S$ соответственно. Доказать, что $\displaystyle AP=\frac12 P_{\triangle ABC}$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается стороны $BC=8$ треугольника $ABC$ в точке $T$ и продолжений его сторон $AB=6$ (за точку $B$) и $AC=7$ (за точку $C$) в точках $P$ и $S$ соответственно. Найти $BT$ и $CT$.
Ответ:
Решение:
Диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ составляет с большей стороной $AB$ угол $30^{\circ}$. Через середину этой диагонали перпендикулярно ей проведена прямая, пересекающая стороны $CD$ и $AB$ в точках $M$ и $K$ соответственно.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AM$, если $AB=12$.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AM$, если $AB=12$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проходящая через середину диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно этой диагонали, пересекает большие стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $M$ соответственно, причём $\angle AKM=60^{\circ}$.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AB$, если $KM=10$.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AB$, если $KM=10$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=15^{\circ}$. На гипотенузу опущена высота $CH=2$. Найти $AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=15^{\circ}$. На гипотенузу $AB=12$ опущена высота $CH$. Найти $CH$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения его биссектрис.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам. (Срединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину перпендикулярно данному отрезку).
Ответ:
Решение:
Из прозрачного листа бумаги вырезан круг. Объясните, как, не используя чертёжных инструментов, найти центр этого круга.
Ответ:
Решение:
Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, причем $\angle BAH > \angle CAH$. Какая сторона больше, $AB$ или $AC$?
Ответ:
Решение:
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ:
Решение:
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 2$. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ взяты соответственно точки $M$ и $M_1$, причём $BM:MC=B_1M_1:M_1C_1$. Докажите, что $AM=A_1M_1$.
Ответ:
Решение:
Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO=OD$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $DCB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$. Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$, если $AB=4$, $AC=5$.
Ответ:
Решение:
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC\parallel BD$ и $AD\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём $MN\parallel AB$ и $MN=AM$. Найдите угол $BAN$, если $\angle B=45^{\circ}$ и $\angle C=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно, причём отрезок $BM$ в 4 раза меньше стороны $BC$. Прямые $BK$ и $AM$ пересекаются в точке $O$ — середине $BK$, $CK=4$, $OM=2$.
а) Докажите, что треугольник $AMC$ равнобедренный.
б) Найдите $BK$, если известно, что $\angle OAC=60^{\circ}$.
а) Докажите, что треугольник $AMC$ равнобедренный.
б) Найдите $BK$, если известно, что $\angle OAC=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение: