На середине $BC$ правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ со стороной основания $AB=6$ и высотой $SO=3\sqrt2$ взята точка $M$. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $O$ параллельно прямым $BC$ и $SM$. Найти площадь такого сечения.
Ответ:
Решение:
На середине $BC$ правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ со стороной основания $AB=8$ и высотой $SO=4\sqrt2$ взята точка $M$. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $O$ параллельно прямым $BC$ и $SM$. Найти площадь такого сечения.
Ответ:
Решение:
Дан правильный тетраэдр $SABC$ с ребром $6$. Через центр $O$ основания $ABC$ тетраэдра проведена плоскость $\alpha$, параллельная $BC$ и пересекающая ребро $AS$ в некоторой точке $K$. Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$. Найти отношение $AK:KP$, если площадь такого сечения составляет половину площади боковой грани тетраэдра.
Ответ:
Решение:
Дан правильный тетраэдр $SABC$ с ребром $4$. Через центр $O$ основания $ABC$ тетраэдра проведена плоскость $\alpha$, параллельная $BC$ и пересекающая ребро $AS$ в некоторой точке $K$. Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$. Найти отношение $AK:KP$, если площадь такого сечения составляет половину площади боковой грани тетраэдра.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=24$, $BC=7$. Боковые рёбра $SA=\sqrt{51}$, $SB=\sqrt{627}$, $SD=10$.
а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.
а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=5$ и $BC=12$. Боковые рёбра $SA$, $SB$ и $CD$ равны $2\sqrt{14}$, 9 и $10\sqrt{2}$ соответственно.
а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.
а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 2 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:3$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=5$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2:3$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=5$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=3:2$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=1$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=6$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=6$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=1$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=8$, $BC=4$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение: