В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=3\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $8$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=24\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $14$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=5\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $24$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=4\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $6$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
Шар вписан в прямую четырёхугольную призму
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
Ответ:
Решение:
Точка $P$ лежит на диаметре $AB$ сферы. При этом $AP:PB=3:1$. Через прямую $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $P$ — плоскость $\beta$, перпендикулярная $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы эти плоскостями, $S$ — окружность пересечения сферы с плоскостью $\beta$, $M$ — точка, лежащая на окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
Ответ:
Решение:
Вокруг куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ описана сфера. На ребре $CC_{1}$ взята точка $M$, при этом плоскость $ABM$ образует угол $15^{\circ}$ с плоскостью $ABC$.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ:
Решение: