В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=15$ и $BC=25$. Боковые ребра пирамиды равны $5\sqrt{17}$. На ребрах $AD$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $N$ так, что $AK=CN=8$. Через точки $K$ и $N$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SB$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=10$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=5$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2:3$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=3$, $BC=1$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=8$, $BC=4$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $AB=6$, высота $SO=7$. На боковом ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2$. Найти площадь треугольника $ABM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $AB=12$, высота $SO=5$. На боковом ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=1:2$. Найти площадь треугольника $ABM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=3$, высота $SO=4$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:MC=2:1$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $(ABM)$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=\sqrt{22}$, высота $SO=11$. На середине бокового ребра $SC$ взята точка $M$.
а) Найти угол между прямыми $BM$ и $AS$.
б) Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
а) Найти угол между прямыми $BM$ и $AS$.
б) Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt6$, высота призмы равна $AA_1=6$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=\sqrt{73}$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На ребрах $BB_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точка $K$ и $M$ соответственно, причём $BK:KB_1=2:1$ и $CM:MC_1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB=4$, а боковое ребро $SA=7$. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причем $BM=1$, точка $K$ лежит на ребре $SC$, причем $SK=4$.
а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.
а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $ABCDP$ ($P$ — вершина) равна $4\sqrt{2}$, а угол между соседними боковыми гранями равен $120^{\circ}$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ $BD$ основания параллельно боковому ребру $CP$.
Ответ:
Решение:
Через середину ребра $AB$ куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$, проведена плоскость, параллельная прямым $BD_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
Ответ:
Решение: