Текстовые задачи на наибольшее/наименьшее значение функции.
Ответ:
Решение:
Число 24 представить в виде произведения двух положительных чисел $x$ и $\displaystyle y=\frac{24}{x}$, так чтобы сумма $S=2x+3y$ удвоенного первого и утроенного второго числа была наименьшей ($2x+3y \to \min$). Чему равна эта наименьшая сумма?
Ответ:
Решение:
На какой высоте нужно пробить отверстие в бочке, наполненной водой, чтобы бьющая из него струя имела наибольшую дальность?
Ответ:
Решение:
Какую длину имеет цилиндрическая балка наибольшего объема, которую можно вырезать из бревна (выдержав соосность), имеющего форму усеченного конуса длины 15 м и радиусами оснований 80 см и 30 см?
Ответ:
Решение:
В полусферу радиуса $a$ опущен стержень длины $3a$. Найти угол наклона стержня в его положении равновесия (середина стержня занимает самое низкое положение).
Ответ:
Решение:
Транспортное средство поднимает груз вверх по наклонной плоскости с постоянной скоростью. Коэффициент трения груза о плоскость равен $\mu$. При каком угле $\alpha$ наклона плоскости к горизонту необходимая сила тяги будет наибольшей?
Ответ:
Решение:
Автомобиль выезжает из $A$ в $B$ со скоростью 50 км/ч. В тот же момент из $B$ в перпендикулярном направлении выезжает другой автомобиль с той же скоростью. Найти наименьшее расстояние между автомобилями, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 100 км.
Ответ:
Решение:
К бруску, лежащему на горизонтальной плоскости, приложена под углом $\alpha$ к горизонтальному направлению сила, обеспечивающая равномерное его движение. При каком значении $\alpha$ величина такой силы будет наименьшей? Коэффициент трения бруска о плоскость равен $\mu $.
Ответ:
Решение:
Если балка прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ оперта на концах и равномерно нагружена, то ее стрела прогиба обратно пропорциональна $ah^3$. Найти величины $a$ и $h$ балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$ наибольшей жесткости.
Ответ:
Решение:
Нужно огородить плитами цветник, прилегающий к стене. Имеется 400 плит длиной по 50 см. Ограда делается в форме прямоугольника. Какими должны быть размеры цветника, чтобы его площадь была наибольшей?
Ответ:
Решение:
Миноносец стоит на якоре в 9 км от берега. С миноносца посылают гонца в лагерь, расположенный на берегу в 15 км от ближайшей к миноносцу точки берега. Скорость гонца на веслах 4 км/ч, а на берегу — 5 км/ч. В какой точке берега он должен приставать, чтобы попасть в лагерь как можно быстрее?
Ответ:
Решение:
Рычаг второго рода имеет точку опоры в $A$, в точке $B$ ($|AB|=a$) подвешен груз $P$. Вес единицы длины рычага равен $k$ ($P>ak/2$). При какой длине рычага груз $P$ будет уравновешиваться наименьшей силой?
Ответ:
Решение:
Картина висит на стене так, что нижний ее конец на $b$ см, а верхний — на $a$ см выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом?
Ответ:
Решение:
Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль $A$ идет на юг, двигаясь со скоростью $6$ миль/ч, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля $B$, который идет на запад со скоростью $8$ миль/ч. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приема сигнала?
Ответ:
Решение:
Сумма высоты и длины окружности основания цилиндрической почтовой посылки не должна превышать $150$ см. Найти размеры наибольшей по объему цилиндрической посылки, которую можно послать почтой.
Ответ:
Решение:
Торшер стоит в углу комнаты размерами $4\times3$ м². Какой высоты должен быть торшер, чтобы освещенность центра пола комнаты была наибольшей? (Освещенность в данной точке прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света).
Ответ:
Решение:
Требуется вырезать из круглого бревна диаметром $d$ балку прямоугольного сечения наибольшей прочности. Предполагается, что балка будет оперта на концах и равномерно нагружена. Предельная нагрузка, которую она при этом выдерживает, пропорциональна $ah^2$, где $a$ — основание, а $h$ — высота балки.
Ответ:
Решение:
Каково соотношение между высотой и диаметром основания цилиндрической консервной банки заданного объема $V$, на изготовление которой затрачено наименьшее количество жести?
Ответ:
Решение:
Бревно длиной в $20$ м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны $2$ м и $1$ м. Требуется вырубить из бревна соосную с ним балку с квадратным поперечным сечением, объем которой был бы наибольшим. Какие размеры будеть иметь такая балка?
Ответ:
Решение:
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр окна равен $p$. Какова должна быть ширина окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?
Ответ:
Решение: