Площадь треугольника как $S=\frac12ab\sin\alpha$. Теоремы синусов, косинусов. Задачи на решение треугольников.
Окружность радиуса 10 вписана в угол величины $60^{\circ}$. Из точки $A$ её касания с одной из сторон угла опущен перпендикуляр $AH$ на другую его сторону, который второй раз пересекает окружность в точке $M$. Найти длину отрезка $MH$ этого перпендикуляра, лежащего вне окружности.
Ответ:
Решение:
Сторона треугольника равна $5\sqrt3$, а прилежащие к ней углы $50^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $AB=4\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{65}$ и $AC=15$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM:BM=3:1$ и $AK:CK=2:1$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
Две стороны треугольника равны 5 и 4, а высота, проведённая к третьей стороне, равна 3. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике одна сторона на 3 см больше другой, а угол между ними равен $120^{\circ}$. Найти эти стороны и площадь треугольника, если большая сторона треугольника равна $\sqrt{93}$.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=17$, $b=AC=10$ и $c=AB=9$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=120^{\circ}$, радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $\displaystyle R=\frac{10}{\sqrt3}$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AOB$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC=60^{\circ}$. Продолжение биссектрисы $AA_{1}$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $A_{2}$. Найдите площади треугольников $OA_{2}C$ и $A_{1}A_{2}C$ ($O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$).
Ответ:
Решение:
В треугольнике одна сторона на 3 см больше другой, а угол между ними равен $60^{\circ}$. Найти эти стороны и площадь треугольника, если большая сторона треугольника равна $\sqrt{79}$.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=20$, $b=AC=15$ и $c=AB=7$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, где $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, где $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=60^{\circ}$, радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $\displaystyle R=20\sqrt3$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AOB$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{2\sqrt2}{3}$.
Ответ:
Решение: