Наибольший угол прямоугольной трапеции равен $120^{\circ}$, а большая боковая сторона равна 12. Найдите разность оснований трапеции.
Ответ:
Решение:
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$ равна 2. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём $MN\parallel AB$ и $MN=AM$. Найдите угол $BAN$, если $\angle B=45^{\circ}$ и $\angle C=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC\parallel BD$ и $AD\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$. Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$, если $AB=4$, $AC=5$.
Ответ:
Решение:
Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO=OD$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $DCB$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проведённая через вершину $C$ треугольника $ABC$ параллельно его биссектрисе $BD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $MBC$, если $\angle ABC=110^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.
Ответ:
Решение:
Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.
Ответ:
Решение:
$AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, причём $AM=MD$. Докажите, что $MD\parallel AC$.
Ответ:
Решение:
Через середину $M$ отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $A$ и $B$. Докажите, что $M$ также середина $AB$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$ и $D$ лежат на одной из двух параллельных прямых, точки $B$ и $C$ — на другой, причём прямые $AB$ и $CD$ также параллельны. Докажите, что противоположные углы четырёхугольника $ABCD$ равны между собой.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $KLMN$ сторона $KL$ равна 8. Окружность, касающаяся сторон $NK$ и $NM$, проходит через точку $L$ и пересекает стороны $KL$ и $ML$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Известно, что $KC:LC=4:5$ и $LD:MD=8:1$. Найдите сторону $KN$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ вдвое больше стороны $AC$.
а) Докажите, что медиана $CM$ перпендикулярна биссектрисе $AK$.
б) Найдите сторону $BC$, если известно, что $AC=5$, $AK=4$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BE$, которую центр $O$ вписанной окружности делит в отношении $BO:OE=2$. Найдите сторону $AB$, если $AC=7$, $BC=8$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{BC}=\overline{a}$, $\overline{DC}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AE}$, $\overline{FC}$, $\overline{BF}$, $\overline{AC}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:1$. Выразить вектор $\overline{BK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
Ответ:
Решение: