Диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ составляет с большей стороной $AB$ угол $30^{\circ}$. Через середину этой диагонали перпендикулярно ей проведена прямая, пересекающая стороны $CD$ и $AB$ в точках $M$ и $K$ соответственно.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AM$, если $AB=12$.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AM$, если $AB=12$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=15^{\circ}$. На гипотенузу опущена высота $CH=2$. Найти $AB$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения его биссектрис.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам. (Срединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину перпендикулярно данному отрезку).
Ответ:
Решение:
Из прозрачного листа бумаги вырезан круг. Объясните, как, не используя чертёжных инструментов, найти центр этого круга.
Ответ:
Решение:
Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.
Ответ:
Решение:
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(4;~-6)$ и $B(-8;~-12)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $2x+y=2$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$. Доказать, что $\overline{AP}+\overline{BQ}+\overline{CR}=\vec 0$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $O$ — произвольная точка. Доказать, что $\displaystyle\overline{OM}=\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)$.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые пересекаются в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$. Докажите, что стороны треугольника $ABC$ являются средними линиями треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM=CP$, $BN=DQ$, $BM=DP$, $NC=QA$. Докажите, что $ABCD$ и $MNPQ$ — параллелограммы.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$; прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $CA$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$; прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $BC$, пересекает сторону $AC$ в $F$. Докажите, что $EA=FC$.
Ответ:
Решение:
Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых $AL$, $BM$, $CN$ и $DK$ — параллелограмм.
Ответ:
Решение:
Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен $60^{\circ}$. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении $1:3$. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}5$ раза больше меньшего основания и на 9 меньше большего основания трапеции.
Ответ:
Решение:
Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 5 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ:
Решение:
Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 4 раза длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ:
Решение: