Автомобиль на мойке обслуживается в среднем 20 мин. Какова вероятность, что обслуживание продлится не более 15 мин?
Ответ:
Решение:
На АЗС в среднем за час заправляют 6 машин. Какова вероятность, что за 4-часовую смену будет обслужено:
а) ровно 20 машин?
б) не более 3 машин?
а) ровно 20 машин?
б) не более 3 машин?
Ответ:
Решение:
Время ожидания автобуса на остановке распределено по показательному закону. Из наблюдений известно, что вероятность того, что пассажиру придётся ждать от 7 до 14 минут, равна $0{,}24$, а среднее время ожидания автобуса меньше 10 минут. Найти вероятность того, что пассажир будет ждать не более 6 минут.
Ответ:
Решение:
Время ожидания автобуса на остановке распределено по показательному закону. Вероятность того, что пассажиру придётся ждать автобуса более 15 минут, равна $0{,}3$. Какова вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 10 минут.
Ответ:
Решение:
Поток пассажиров к билетной кассе является пуассоновским с интенсивностью 4 человека за 5 минут.
а) Какова вероятность, что за 5 минут подойдут ровно 3 пассажира?
б) Какова вероятность, что время между приходами двух последовательных пассажиров превысит 2 минуты?
а) Какова вероятность, что за 5 минут подойдут ровно 3 пассажира?
б) Какова вероятность, что время между приходами двух последовательных пассажиров превысит 2 минуты?
Ответ:
Решение:
В call-центр в среднем поступает 12 звонков в час. Считая, что время между звонками имеет показательное распределение, определите:
а) Вероятность того, что следующий звонок поступит в течение ближайших 5 минут.
б) Вероятность того, что между двумя звонками пройдет более 10 минут.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}8$ поступит хотя бы один звонок.
а) Вероятность того, что следующий звонок поступит в течение ближайших 5 минут.
б) Вероятность того, что между двумя звонками пройдет более 10 минут.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}8$ поступит хотя бы один звонок.
Ответ:
Решение:
Среднее время безотказной работы электрической лампочки составляет 1000 часов. Предполагая, что время её работы подчиняется показательному распределению, найдите:
а) Вероятность того, что лампочка проработает более 1500 часов.
б) Вероятность того, что лампочка перегорит в интервале от 500 до 1500 часов.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}9$ лампочка ещё будет работать.
а) Вероятность того, что лампочка проработает более 1500 часов.
б) Вероятность того, что лампочка перегорит в интервале от 500 до 1500 часов.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}9$ лампочка ещё будет работать.
Ответ:
Решение:
Онлайн-магазин получает заказы по пуассоновскому потоку с интенсивностью 5 заказов в час. Время обработки каждого заказа экспоненциально распределено со средним 12 минут.
а) Какова вероятность, что следующий заказ поступит не раньше, чем через 30 минут?
б) Какова вероятность, что за 2 часа поступит не менее 8 заказов?
в) Какова вероятность того, что обработка одного заказа завершится не позднее чем через 10 минут?
а) Какова вероятность, что следующий заказ поступит не раньше, чем через 30 минут?
б) Какова вероятность, что за 2 часа поступит не менее 8 заказов?
в) Какова вероятность того, что обработка одного заказа завершится не позднее чем через 10 минут?
Ответ:
Решение:
Автомобиль на автомойке обслуживается в среднем за 25 минут. Какова вероятность, что обслуживание продлится не более 20 минут?
Ответ:
Решение:
На автозаправке в среднем за один час заправляются 4 автомобиля. Какова вероятность, что за трёхчасовую смену будет заправлено:
а) ровно 10 машин?
б) не более 2 машин?
а) ровно 10 машин?
б) не более 2 машин?
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 1; \\
& -ax^2+4ax-3a, \quad\text{если}~1\leqslant x < 3; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
Найти значение $a$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины. Построить график плотности распределения при таком значении $a$.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < \frac{\pi}{2}; \\
& -a\cos x, \quad\text{если}~\frac{\pi}{2}\leqslant x < \frac{3\pi}{2}; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant\frac{3\pi}{2}.
\end{aligned}\right.$$
Найти значение $a>0$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{\pi/4 \leqslant X \leqslant \pi\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{\pi/4 \leqslant X \leqslant \pi\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& kx, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& k(x-2)^2, \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant2.
\end{aligned}\right.$$
Найти значение $k$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{x}{10}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 4; \\
& \frac{10-2x}{5}, \quad\text{если}~4\leqslant x < 5; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant5.
\end{aligned}\right.$$
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{2 \leqslant X \leqslant 4{,}5\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{2 \leqslant X \leqslant 4{,}5\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{2x}{15}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 3; \\
& \frac{5-x}{5}, \quad\text{если}~3\leqslant x < 5; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant5.
\end{aligned}\right.$$
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{1{,}5 \leqslant X \leqslant 4\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{1{,}5 \leqslant X \leqslant 4\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{2x}{3}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{3-x}{3}, \quad\text{если}~1\leqslant x < 3; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant3)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant3)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{7}{20} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& -\frac{1}{20}(4x^2-22x+11), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{20}(3x^2-18x+7), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{3}{20} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{20}(4x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{20}(7x^2-42x+43), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{1}{8} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{8}(2x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{8}(3x^2-18x+19), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{3}{8} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& -\frac{1}{8}(2x^2-10x+5), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{8}(x^2-6x+1), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение: