Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых $AL$, $BM$, $CN$ и $DK$ — параллелограмм.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$; прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $CA$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$; прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $BC$, пересекает сторону $AC$ в $F$. Докажите, что $EA=FC$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM=CP$, $BN=DQ$, $BM=DP$, $NC=QA$. Докажите, что $ABCD$ и $MNPQ$ — параллелограммы.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые пересекаются в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$. Докажите, что стороны треугольника $ABC$ являются средними линиями треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.
Ответ:
Решение:
Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~-4)$ и $B(-5,~3)$ пересекаются в точке $O(1,~0)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $O$ — произвольная точка. Доказать, что $\displaystyle\overline{OM}=\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OP}+\overline{OQ}+\overline{OR}=\vec 0$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены медианы, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=\vec 0$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$. Доказать, что $\overline{AP}+\overline{BQ}+\overline{CR}=\vec 0$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{KM}$,
б) вектор $\overline{BK}$.
а) вектор $\overline{KM}$,
б) вектор $\overline{BK}$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:4$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AK}$,
б) вектор $\overline{KC}$.
а) вектор $\overline{AK}$,
б) вектор $\overline{KC}$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{MK}$,
б) вектор $\overline{BK}$.
а) вектор $\overline{MK}$,
б) вектор $\overline{BK}$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(6;~7)$ и $B(-2;~11)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x-y=4$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(2;~1)$ и $B(-4;~10)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x-y=5$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(-3;~26)$ и $B(5;~-22)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x+y=5$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(4;~-6)$ и $B(-8;~-12)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $2x+y=2$.
Ответ:
Решение:
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 2$. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ:
Решение:
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, причем $\angle BAH > \angle CAH$. Какая сторона больше, $AB$ или $AC$?
Ответ:
Решение: