В угол с вершиной $A$, равный $120^{\circ}$, вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $10\sqrt3$, касающаяся сторон угла в точках $M$ и $K$. Найти $AO$ и $AK=AM$.
Ответ:
Решение:
К окружностям радиусов 7 и 3, касающимся внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между точками касания.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении $5:3$, считая от вершины. Найти основание треугольника, если боковая сторона равна 20.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Найти $AP$, $BQ$ и $CR$, если стороны треугольника равны $AB=8$, $BC=7$ и $AC=5$.
Ответ:
Решение:
Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника делится точкой касания с окружностью на отрезки длины 3 и 10.
Ответ:
Решение:
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $a=17$, $b=10$ и $c=9$.
Указание. Радиус вписанной окружности равен $\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$, где площадь $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Указание. Радиус вписанной окружности равен $\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$, где площадь $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Ответ:
Решение:
Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а боковая сторона равна 39. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $\angle AOC=60^{\circ}$. Найдите угол $AMC$, где $M$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $12:5$, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.
Ответ:
Решение:
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=9$ и $CD=5$ биссектриса угла $D$ пересекает биссектрисы углов $A$ и $C$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а биссектриса угла $B$ пересекает те же две биссектрисы в точках $L$ и $K$, причём точка $K$ лежит на основании $AD$.
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот остроугольного треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $\angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}$.
б) Известно, что $A_{1}B_{1}=26$, $B_{1}C_{1}=28$, $A_{1}C_{1}=30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $\angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}$.
б) Известно, что $A_{1}B_{1}=26$, $B_{1}C_{1}=28$, $A_{1}C_{1}=30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $B$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания $AD$ в точке $E$.
а) Докажите, что треугольник $DBE$ равновелик трапеции $ABCD$.
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.
а) Докажите, что треугольник $DBE$ равновелик трапеции $ABCD$.
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$. Известно, $\angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если известно также, что $\cos\angle BAC=\frac{3}{5}$ и $BC=48$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если известно также, что $\cos\angle BAC=\frac{3}{5}$ и $BC=48$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$, $CH$ — высота трапеции.
а) Докажите, что треугольник $ABH$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ACH$, если известно, что боковая сторона трапеции равна 2, $\angle BOC=60^{\circ}$, а $BC$ — меньшее основание.
а) Докажите, что треугольник $ABH$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ACH$, если известно, что боковая сторона трапеции равна 2, $\angle BOC=60^{\circ}$, а $BC$ — меньшее основание.
Ответ:
Решение: