Вершины треугольника соединены с центром вписанной окружности. Проведёнными отрезками площадь треугольника разделилась на три части, площади которых равны 7, 15 и 20. Найдите стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ со сторонами $AB=8$, $BC=10$ и $AC=12$ вписана окружность, касающаяся сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Найти площадь треугольника $MNK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ даны стороны: $AB=20$, $AC=13$, $BC=11$. На стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:7$. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Найти площадь треугольника $AKC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $K$ и $N$ ($AK < AN$), и через них параллельно $BC$ проведены прямые, пересекающие сторону $AC$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Известно, что $S_{AKL} : S_{KLMN} : S_{BNMC} = 1 : 8 : 27$. Найти $AK : KN : NB$.
Ответ:
Решение:
Средняя линия делит трапецию на две трапеции, площади которых относятся как $13:15$. Найти отношение оснований трапеции. Найти основания трапеции, если средняя линия равна 42.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. При этом отношение площади треугольника $AKM$ к площади трапеции $BKMC$ равно $S_{AKM}:S_{BKMC}=4:5$. Найти отношение $AK:KB$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $K$ так, что $BK:KC=3:5$, а на отрезке $AK$ взята точка $M$ так, что $AM:MK=2:3$. Найти площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $CMK$ равна 12.
Ответ:
Решение:
Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 11, а угол при большем основании равен $45^{\circ}$. Найти площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медианы $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь четырехугольника $OKCM$, если площадь треугольника $ABC$ равна 42.
Ответ:
Решение:
Средняя линия трапеции равна 10 и делит трапецию на две трапеции, площади которых относятся как $2:3$. Найти основания трапеции.
Ответ:
Решение:
Основания трапеции относятся как $1:4$, а площадь трапеции равна 100. Найти площади трапеций, на которые данная трапеция разбивается средней линией.
Ответ:
Решение:
Сторона $AB$ на 3 больше высоты $CH$ треугольника $ABC$, площадь которого равна 20. Найти сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
Основания трапеции относятся как $3:4$. Найти площади треугольников, на которые трапеция делится диагоналями, если площадь трапеции равна 147.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD=7$ и $AB=5$. Высота $DM$, опущенная на сторону $BC$, равна 4. Найти высоту $DK$.
Ответ:
Решение:
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ произвольно выбрана точка $M$. Доказать, что $$S_{\triangle AMD}+S_{\triangle BMC}=\frac12\,S_{ABCD}.$$
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Доказать, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ взяли произвольную точку $M$. Доказать, что $$S_{\triangle AMD}+S_{\triangle BMC}=\frac12\,S_{ABCD}.$$
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина боковой стороны стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Доказать, что $\displaystyle S_{\triangle MCD}=\frac12\,S_{ABCD}$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции пересекаются в точке $O$, удаленной от стороны $AB$ на расстояние 7. Найти площадь параллелограмма, если $AD=20$.
Ответ:
Решение: