Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x+1}{1-x}$. Указать множество значений функции $f(x)$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{2x^2-x+1}{1-x}=a$$ не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$. Исследовать количество корней уравнения $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}=a$ в зависимости от значений параметра $a$.
Ответ:
Решение:
1. Исследовать функции и построить их графики:
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
Ответ:
Решение:
а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x-2$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x-2=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot2^x-2=a$ имеет хотя бы один корень.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x-2=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot2^x-2=a$ имеет хотя бы один корень.
Ответ:
Решение:
а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x^2+4=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot4^x+4=a$ имеет хотя бы один корень.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x^2+4=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot4^x+4=a$ имеет хотя бы один корень.
Ответ:
Решение:
а) Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить график: $\displaystyle y=\frac{x^3}{x^3+1}$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{\sin^3x}{\sin^3x+1}=a$ имеет хотя бы одно решение.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{\sin^3x}{\sin^3x+1}=a$ имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $$f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac12(7x+18), x\leqslant-2; \\ &\frac13(-5x-4), -2 < x\leqslant1; \\ &2x-5, x\geqslant1. \end{aligned}\right.$$ Указать все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет ровно три корня.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $$y=f(x)=\frac{3x^3-11x^2+12x-4}{x^2-3x+2}.$$ Найти значения параметра $a$, при которых не имеет решений уравнение
а) $f(x)=a$;
б) $f(x)=ax$.
а) $f(x)=a$;
б) $f(x)=ax$.
Ответ:
Решение:
Построить график функции: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+8x^2+19x+12}{x+4}$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
Ответ:
Решение:
Построить график функции: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+6x^2+5x-12}{x+4}$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+4x+3, x\leqslant-1; \\
&-x^2+2x+3, x > -1. \\
\end{aligned}\right.$$
Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет ровно три различных корня.
Ответ:
Решение:
Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+8x+12,\quad\text{если }x\leqslant-1;\\
&|x-2|+2,\quad\text{если }x > -1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ:
Решение:
Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&|x+2|-1,\quad\text{если }x\leqslant2;\\
&-x^2+6x-5,\quad\text{если }x>2.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно три общие точки.
Ответ:
Решение:
Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+4x+5,\quad\text{если }x\leqslant-1;\\
&-|x-1|+4,\quad\text{если }x>-1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно три общие точки.
Ответ:
Решение:
Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+2x-1,\quad\text{если~}x\leqslant1;\\
&|x-6|-3,\quad\text{если~}x>1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2-7x+10|=a(x-1)$ имеет ровно два корня.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{2x^2-13x+15}{x-5}=ax-a+2$ не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x+a|=\sqrt{4x+4-x^2}$ имеет два корня.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение для каждого значения параметра $a$: $|a|x+2a+3=3x$. При каких значениях параметра $a$ уравнение не имеет решений?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x-a|=ax$ имеет ровно один корень. Найти соответствующие корни уравнения.
Ответ:
Решение: