Через вершины $A_1$ и $C$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BC_1$. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ пополам.
б) Найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ пополам.
б) Найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $\alpha$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=\sqrt{73}$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt6$, высота призмы равна $AA_1=6$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=3$, высота $AA_1=4$. На продолжении стороны основания $BC$ за точку $C$ взяли точку $M$ так, что точка $C$ — середина отрезка $BM$.
а) Найти косинус угла между прямыми $A_1B$ и $B_1M$.
б) Построить сечение призмы плоскостью $(AB_1M)$ и найти его площадь.
а) Найти косинус угла между прямыми $A_1B$ и $B_1M$.
б) Построить сечение призмы плоскостью $(AB_1M)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ со стороной основания $AB=8$ и высотой $AA_1=6$ найти угол между $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{22}$. Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $3$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{34}$. Точка $M$ принадлежит ребру $B_1C_1$ и делит его в отношении $2:1$, считая от вершины $B_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $B$, $D$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB=6$, высота призмы $AA_1=3\sqrt2$. Найти угол $AB_1D_1A_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=18$, боковое ребро $AA_1=\sqrt{13}$. На ребре $B_1C_1$ взята точка $M$ так, что $B_1M:MC_1=2:1$. Построить сечение призмы плоскостью $(ABM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 2, на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ с основаниями $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Прямые $BA_{1}$ и $CB_{1}$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $AB=4$, боковое ребро $AA_1=12$. На середине ребра $AD$ взята точка $M$, на ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:C_1K=3:1$. Постройте сечение призмы плоскостью $BMK$. а) В каком отношении эта плоскость делит ребро $DD_1$? Найти б) периметр и в) площадь сечения.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме построено сечение плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную ей вершину верхнего. Площадь полученного сечения $S$, угол наклона секущей плоскости к плоскости основания равен $45^{\circ}$. Найти высоту призмы.
Ответ:
Решение:
Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной $a$, боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом $60^{\circ}$ к плоскости основания. Найти высоту призмы и площадь полной поверхности.
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону $BC$ и середину отрезка, соединяющего середины медиан оснований, проведенных к сторонам $BC$ и $B_1C_1$. Найти площадь этого сечения.
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону $BC$ и середину отрезка, соединяющего точки пересечения медиан оснований. Найти площадь этого сечения.
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_{1}$.
Ответ:
Решение: