В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AD_{1}$ и $CE_{1}$, где $D_{1}$ и $E_{1}$ — соответственно середины рёбер $A_{1}C_{1}$ и $B_{1}C_{1}$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, все рёбра которой равны, точка $E$ — середина ребра $SD$. Найдите тангенс угла между прямыми $SB$ и $AE$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, все рёбра которой равны, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите тангенс угла между прямыми $SA$ и $BE$.
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_{1}$.
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми $AB_{1}$ и $BC_{1}$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $C_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Найти косинус угла между прямыми $AC$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ боковое ребро $AD=3$, стороны основания $AB=AC=8$ и $BC=12$, $\angle DAB=\angle DAC=60^{\circ}$. Найти площадь грани $BCD$.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ боковое ребро $AD=5$, стороны основания $AB=AC=8$ и $BC=12$, $\angle DAB=\angle DAC=60^{\circ}$. Найти площадь грани $BCD$.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. Точка $M$ — середина ребра $AD$, точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $DK:CK=1:4$. Найти а) периметр и б) площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ и $K$ параллельно ребру $BC$.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. Точка $M$ — середина ребра $AD$, точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $DK:CK=2:3$. Найти а) периметр и б) площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ и $K$ параллельно ребру $BC$.
Ответ:
Решение:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, сторона которого равна 6. На ребре $A_1D_1$ взята точка $M$ так, что $A_1M:D_1M=1:2$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(ACM)$.
Ответ:
Решение:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, сторона которого равна 6. На ребре $A_1D_1$ взята точка $M$ так, что $A_1M:D_1M=2:1$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(ACM)$.
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону $BC$ и середину отрезка, соединяющего точки пересечения медиан оснований. Найти площадь этого сечения.
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону $BC$ и середину отрезка, соединяющего середины медиан оснований, проведенных к сторонам $BC$ и $B_1C_1$. Найти площадь этого сечения.
Ответ:
Решение:
Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость задана уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, причём числа $A$, $B$, $C$ и $D$ отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$, где $P(p;0;0)$, $Q(0;q;0)$ и $R(0;0;r)$ — точки пересечения плоскости с координатными осями.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ и $DD_{1}$ — параллельные рёбра, плоскость $P$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $DD_{1}$. Найдите расстояние от середины ребра $CD$ до плоскости $P$, если ребро куба равно 4.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ и $DD_{1}$ — параллельные рёбра, плоскость $P$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $AD$. Найдите расстояние от середины ребра $AB$ до плоскости $P$, если ребро куба равно 3.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Пусть $M$ — такая точка на ребре $A_{1}D_{1}$, для которой $A_{1}M:MD_{1}=1:2$. Найдите периметр треугольника $AB_{1}M$, а также расстояние от вершины $A_{1}$ до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$. Найдите угол между прямыми $AC_{1}$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ со стороной основания $2\sqrt{7}$ и боковым ребром $2\sqrt{15}$. Точка $M$ — середина ребра $BB_{1}$. Найдите угол между плоскостями $AMC$ и $A_{1}BC_{1}$.
Ответ:
Решение: