Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\sin 1}^{\sin\sqrt[3]{e}}\frac{dx}{\arcsin x\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=2^x$ и прямой $\displaystyle y=\frac73\,x+1$. Сделайте чертеж.
Ответ:
Решение:
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной графиком функции $y=e^x$ и прямыми $x=0$ и $y=e^2$.
Указание. $\int\ln^2 x\,dx=x(\ln^2 x-2\ln x+2)+C$.
Указание. $\int\ln^2 x\,dx=x(\ln^2 x-2\ln x+2)+C$.
Ответ:
Решение:
Найти кинетическую энергию диска массы $m$ и радиуса $R$, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.
Ответ:
Решение:
Преобразовав подынтегральную функцию и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} x\sin^22x\,dx$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sin x$ ($0\leqslant x\leqslant\pi$) и ломаной $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-\left|x-\frac{\pi}{2}\right|$.
Ответ:
Решение:
Два электрических заряда $q_0$ и $q_1$ находятся на оси $Ox$ соответственно в точках $x_0$ и $x_1>x_0$. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку $x_2>x_1$? Коэффициент в выражении для кулоновской силы считать равным $1/(4\pi\varepsilon_0)$.
Ответ:
Решение:
Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.
Ответ:
Решение:
Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} 2x\cos x^2\,dx$.
Ответ:
Решение:
Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_1^e\frac{\ln^2 x\,dx}{x}$.
Ответ:
Решение:
Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^1\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $(-1,~-3)$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ и параболой $\displaystyle y=\frac{x^2}{36}$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $(2,~3)$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{x+1}$ и прямой $x+5y=5$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $\displaystyle y=\frac{1}{x^2+1}$ и $\displaystyle y=\left|\frac{x}{2}\right|$.
Ответ:
Решение:
Найти длину дуги графика функции $y=\sqrt{e^{2x}-1}-\text{arctg}\,\sqrt{e^{2x}-1}$, $0\leqslant x \leqslant 1$.
Ответ:
Решение:
Найти длину дуги графика функции $\displaystyle y=\frac{4}{5}\left(\sqrt{x}-1\right)^\frac52+\frac{4}{3}\left(\sqrt{x}-1\right)^\frac32$, $1\leqslant x \leqslant 16$.
Ответ:
Решение: