Применив метод математической индукции, доказать, что $n^3+11n$ делится на 6 при любом $n \in \mathbb{N}$.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
Ответ:
Решение:
Найти все $x$, при которых числа $\{24\cdot9^x,~35\cdot6^x,~36\cdot4^x\}$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Сумма третьего, седьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 63, а второй, пятый и восьмой члены дают в сумме 27. Найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, седьмого и десятого членов арифметической прогрессии равна 45, а третий, шестой и девятый члены дают в сумме 36. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма пятого, восьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 66, а шестой, девятый и двенадцатый члены дают в сумме 81. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Три числа, сумма которых равна $45$, образуют арифметическую прогрессию. Если от первого числа отнять 1, от второго отнять 7, а к третьему прибавить 5, то получившиеся три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.
Ответ:
Решение:
Пятый, восьмой и семнадцатый члены арифметической прогрессии, сумма которых равна 117, образуют прогрессию геометрическую. Найти сумму первых пятнадцати членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий, пятый и одиннадцатый члены арифметической прогрессии, сумма которых равна 39, образуют прогрессию геометрическую. Найти сумму первых двадцати членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Три числа, сумма которых равна $33$, образуют арифметическую прогрессию. Если от первого числа отнять 2, от второго отнять 1, а к третьему прибавить 5, то получившиеся три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.
Ответ:
Решение:
Четвертый, шестой и восемнадцатый члены арифметической прогрессии, сумма которых равна 86, образуют прогрессию геометрическую. Найти сумму первых двадцати членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Произведение второго и шестого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{256}{729}$, а отношение седьмого и третьего членов равно $\displaystyle\frac{256}{81}$. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{4}{9}$, а пятый равен $\displaystyle\frac{64}{81}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Произведение второго и пятого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{8}{243}$, а отношение десятого и шестого членов равно $\displaystyle\frac{16}{81}$. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{2}{9}$, а шестой равен $\displaystyle\frac{16}{243}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Произведение второго и четвертого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{16}{729}$, а отношение пятнадцатого и одиннадцатого членов равно $\displaystyle\frac{16}{81}$. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{4}{27}$, а пятый равен $\displaystyle\frac{16}{243}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
В первый день Вася Пупкин, готовясь к самостоятельной работе по теме «Арифметическая прогрессия», решил тридцать задач (берите пример!), а в каждый следующий день решал на 3 задачи меньше, чем в предыдущий. Сколько дней длилась его подготовка, если всего он решил 156 задач?
Ответ:
Решение:
Сумма десятого и пятнадцатого членов убывающей арифметической прогрессии равна 31, а сумма квадратов третьего и семнадцатого членов равна 1940. Найти сумму первых двадцати членов такой прогрессии.
Ответ:
Решение: